Гармоническая теорема Николая Орезмского (14 век)

     В ответе на комментарий к предыдущему рассказу обещал и вот. Больше наверное на эту тему не буду, а то подумаете что-нибудь.

Гармоническая теорема Николая Орезмского (14 век)

Предистория
     Франция. На дворе 14 век. Епископ города Лизье (департамент Кальвадос) Николай Орем (Николай Орезмский) вел непримиримую войну с пьянством монахов в одном монастыре. Монахи так нагружались “Кальвадосом”, что забывали кому и где служат. Песни до утра под гармонь, мордобой, самоволка в женский монастырь, привод “девочек” для отпущения грехов в свой,,, .
     Епископу это безобразие надоело и он решил отучить их от пьянства. Но решил не сразу отсечь их от винных подвалов, а отучать постепенно. Если до этого в день выпивалось по одной бочке, то теперь он распорядился выдавать напиток начиная с такого-то числа по следующиму закону:
                    -В первый день выдать одну бочку, как и было заведено до этого.
                    -Во второй день половину от первого дня (1/2).
                    -В третий день одну третью часть от первого количества (1/3).
                    -и так далее ................................
                    -В энный день (n) выдавать одну энную часть (1/n) от опять же первого дня.
     В один год сады и виноградники погибли от всевозможных насекомых-вредителей. Чтобы вырастить новые сады нужно немало времени и епископ сел за расчеты, чтобы посчитать, насколько хватит вина с прошлых урожаев. Ему пришлось находить сумму вот таких чисел:
1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+……+1/n+……. , где n стремится к бесконечности.
Решение епископа
     Николай Орезмский взял и не меняя порядок слагаемых, сгруппировал их следующим образом:
1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+…+1/16)+…..
     Затем в каждой скобке заменил все числа на последнее, стоящее в той же скобке,
1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+(1/16+…+1/16)+…….
     Очевидно, этим самым он уменьшил сумму в каждой скобке, но зато теперь стало легко найти сумму дробей с одинаковыми знаменателями.
P.S. Я думаю это он сделал не от хорошей жизни – просто не умел складывать дроби с разными знаменателями.
     Он легко посчитал сумму дробей в каждой скобке – она оказалась равна ½, и теперь епископ имел следующую картину.
1+ ½ + ½ + ½ + ½ + ½ + ½ + ½ + ½ + ½ + ½ +.............
Ясно, что эта сумма стремится к бесконечности, только растет очень медленно.
     Так как не все любят математику, то чуть-чуть вмешаемся. Представим, что была сороконожка и у ней бесконечно много ног. Затем рядом с ней поместили вторую сороконожку, но с чуть более короткими ногами и оказалось что общая длинна ножек второй бесконечна большая. Следовательно сумма длинн ножек первой “сороконожки”  , а именно  1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+……. тоже стремится к бесконечности.

     А теперь вернемся в “винный погребок”. Епископ понял, придет час Х и наступит такой момент, когда братья монахи вылакают все запасенное вино.
     До нас не дошли документы о дальнейших событиях как выкрутился епископ, но нам известно, что в тех краях опять гонят “Кальвадос”. Значит сады восстановили.

Николай Орезмский написал целый трактат по математике и там приведена такая
     Теорема. Объем выпитого по гармоническому закону вина стремится к бесконечности.

Из этой теоремы получается на первый взгляд парадоксальное
     Следствие. При питие вина по гармоническому закону, расходы на каждую следующую порцию бухла уменьшаются (стремятся к нулю), в то время как количество выпитого вина увеличивается и стремится к бесконечности.